1- ¿Existe algún multirectángulo con un número impar de lados?
Partiendo de cualquier punto de la poligonal supongamos que ésta se recorre en sentido positivo; al volver al punto de origen hemos barrido un total de +360 grados. Denotemos con E el número de giros de 90 grados y con R el número de giros de -90 grados (la notación es consistente ya que hay tantos giros de +90 grados como número de esquinas y tantos de -90 grados como número de rincones); entonces:
E(+90) + R.(-90) = +360
o
E – R = 4
E y R no pueden ser uno impar y el otro par ya que la diferencia E – R sería un número impar; así, , tenemos que ambos, E y R son pares o ambos son impares. En ambos casos, la suma N = E + R es un número par.
En conclusión, el número de lados N de un multirectángulo es un número par.
Obsérvese que la identidad E – R = 4 nos esta diciendo que en todo multirectángulo hay cuatro esquinas mas que rincones.
2- ¿Cuántas esquinas y cuántos rincones tiene un multirectángulo de 99 lados? ¿Cuántas esquinas y cuántos rincones tiene un multirectángulo de 100 lados?
En la respuesta a la pregunta 1, hemos visto que todo multirectángulo tiene un número par de lados, por lo tanto no hay multirectángulos de 99 lados.
Antes de responder a la pregunta con respecto al multirectángulo de cien lados, tratemos de obtener un resultado un poco más general: dado un número entero par N mayor que tres, ¿Cuántas esquinas y cuántos rincones tiene un multirectángulo de N lados?
Hasta ahora tenemos la siguientes dos identidades:
E – R = 4
E + R = N
Resolviendo el sistema en E y R en términos de N , tenemos:
E = (N + 4)/2 y R = (N – 4)/2
Luego, un multirectángulo de 100 lados tiene 52 esquinas y 48 rincones.
3- Un jardín, con forma de mulrirectángulo y con sus lados de dimensiones enteras, debe rodearse con baldosas de piedra de dimensiones 1x1. ¿Cuántas baldosas se necesitan?.
Si el jardín es un multirectángulo de cuatro lados, bastará colocar una baldosa en cada esquina y luego cubrir todo el perímetro P. Si denotamos con B el número de baldosas a colocar, entonces
B = P + 4
Para un jardín multirectangular de seis lados (cinco esquinas y un rincón), el peor caso ocurre cuando los lados adyacentes al rincón son de longitud uno. Sean e1 y e2 las esquinas –en sentido positivo- entre las cuales está el rincón r; recorriendo en sentido horario desde una distancia 1 antes de e1y hasta una distancia 1 despues de e2, -cubriendo asi cuatro(4) unidades del perímetro- vemos que deben colocarse cinco(5) baldosas.
Para cubrir el resto de la poligonal se necesitan tres(3) baldosas para las otras esquinas y P-4 para el resto del perímetro. En total:
B = 5 + 3 + (P – 4)
o sea,
B = P + 4
Para multirectángulos de ocho lados en adelante el problema se complica debido al "terrible" número de posibles sobreposiciones. Por ejemplo, si colocamos baldosas en dos rincones consecutivos y a distancia uno, las baldosas quedaran una sobre la otra de manera que una de ellas es innecesaria. Si, además, los lados adyacentes a los rincónes son de longitud dos vamos a encontar otra sobreposición. En general, al tartar de responder a la pregunta 3, nos encontraremos con sobreposiciones en los siguientes casos: (1) la que se produce en un rincón, este tipo de sobreposición está presente en cualquier multirectángulo de más de cuatro lados, por ello la denominaremos natural, (2) dos esquinas situadas a distancia uno, (3) dos rincónes situados a distancia uno, (4) una esquina y un rincón situados a distancia raiz cuadrada de dos.
La complejidad de formas y la presencia combinada de los tipos de sobreposiciones muestra la dificultad para hallar una fórmula general.
Un problema interesante –no resuelto- es el de contar el número de multirectángulos de N lados y a la vez ir contando las sobreposiciones; al final obtendriamos una cota superior para el número de ellas.
Cuando el multirectángulo de N contiene solo sobreposiciones naturales, el problema se resuelve como en el caso de seis lados: comenzamos colocando una baldosa por cada unidad de perímetro, en este proceso vamos a encontrar un cantidad de R sobreposiciones naturales de manera que al cubrir el perímetro hemos colocado un total de P - R baldosas; finalmente colocamos E baldosas adicionales, una por cada esquina. En total, el número B de baldosas colocadas es: B = (P – R) + E y dado que E – R = 4, tenemos que:
B = P + 4
4- Hallar una fórmula que exprese el área de un multirectángulo de lados paralelos a los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares.
En realidad no es necesario prefijar un sistema de coordenadas en el cual ubicar luego el multirectángulo. Se puede demostrar que a todo multirectángulo esta asociado, de manera natural, (más de) un sistema de coordenadas rectangulares:
elijamos un vértice cualquiera del multirectángulo y consideremos las rectas que, pasando por dicho vértice, contienen -respectivamente- los lados adjacentes que convergen al vértice; dichas rectas son perpendiculares, asi que pueden ser consideradas como los ejes rectangulares. El vértice elegido actuaria como el origen de coordenadas.
Vamos ahora al problema del área. En la figura siguiente se tiene un rectángulo con sus lados paralelos a los ejes coordenados y sus cuatro vértices denotados en sentido negativo.
El área puede verse como la diferencia entre las áreas de dos rectángulos: el área del rectángulo con lado superior el lado (1)-(2) y base sobre el eje x, menos el área del rectángulo con lado superior (3)-(4) y base sobre el eje x. Asi;
Area = (x2 - x1)*y1 - (x3 – x4)*y3
Y con un poquito de manipulación vemos que:
Area = (x2 - x1)*y1 + (x3 – x2)*y2 + (x4 – x3)*y3 + (x4 – x1)*y4
Obsérvese que el segundo y último sumandos son iguales a cero.
Si se sigue la misma idea del caso del rectángulo se puede entender la siguiente generalización:
considérese un multirectángulo ubicado en un sistema de coordenadas rectangulares de manera que sus lados sean paralelos a los ejes; sean (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn) los vértices del multirectángulo, denotados de manera que al unirlos se recorre la poligonal en sentido negativo. Una fórmula para el área de tal multirectángulo es la siguiente:
A = [x2 - x1]*y1 + [x3 – x2]*y2 + …+ [xn – x(n-1)]*y(n-1) + [xn – x1]*yn