Los dos sobres
Este es un hermoso problema que nos tienta a resolver algo que está más allá de nuestras posibilidades por falta de información. La respuesta es muy prosaica, simple y es además la que grita el sentido común: haga lo que quiera, en su situación de ignorancia no tiene motivos para cambiar o no cambiar el sobre.
¿Entonces cuál es el interés del problema? Su interés radica en que es muy fácil hacer razonamientos erróneos que nos lleven a la conclusión de que es mejor cambiar de sobre. Veámoslo:
En este sobre hay 10$. Por lo tanto, en el otro hay o bien 20$ o bien 5 $.
Como no tengo motivos para suponer otra cosa, supongo que la probabilidad de que en el otro haya 20$ es ½, lo mismo que la probabilidad de que en el otro sobre haya 5 $. Sea X mi ganancia, calculo su esperanza en las dos estrategias posibles, cambiar o no cambiar:
Si no cambio: E(X)=P(X=10).10=1 . 10 = 10
Si cambio: E(X)=P(X=5).5+P(X=20).20=0,5 . 5 + 0,5 . 20 = 12,5
La esperanza de la ganancia es mayor cambiando, por lo tanto, debo cambiar.
¿Encontró la falla de ese razonamiento? Si desea ver si estamos de acuerdo, y además la solución pulse aquí
El fallo en el razonamiento reside en suponer que es equiprobable tener 5$ o
10$ en el otro sobre. Esto implicaría una distribución de probabilidad
uniforme sobre los naturales, lo que no puede ser y acarrea la
contradicción. Si supiésemos algo más sobre cómo ha sido puesto el dinero en
los sobres, no caeríamos en ella.
El razonamiento correcto es:
Supongamos que en un sobre hay X $ y en el otro 2X$. Si elijo el de X y
cambio, mi ganancia sobre lo que ya tengo es X. Si elijo el de 2X y cambio,
mi ganancia sobre lo que ya tengo es -X. Promediando esos valores (ahora sí
lo puedo hacer, porque se trata de las probabilidades de que yo haya elegido
un sobre u otro, no de los valores que contengan), veo que mi ganancia sobre
lo que tengo al elegir el 1er sobre es 0, igual que si no cambio.
Autor de este texto: Miguel Molina